Ondas estacionarias

Supongamos dos ondas armónicas que se propagan en sentidos contrarios. Una  onda transversal  moviéndose hacia la izquierda y de ecuación y_i(t) = A sen (wt + kx) y una onda que se propaga hacia la derecha y que tiene por ecuación yr(t) = Asen (wt – kx). El desplazamiento en cualquier punto de la cuerda es el resultado de la interferencia o superposición de estas dos ondas:

 y(t) = A (sen (wt + kx) +  sen (wt – kx))

 Sabiendo que: sena+ senb = 2 cos½ (a-b). sen½ (a+b) se obtiene:  

y(t) = 2A cos kx sen wt

  Esta ecuación representa un MVAS cuya amplitud varía de punto a punto y está dada por:

 A = 2A cos kx

 La amplitud es máxima para kx = np o bien como k =2p /l Þ x = ½ nl

Estos puntos se denominan vientres. Los vientres sucesivos están separados por una distancia de ½l.

  Los puntos de  amplitud cero son los nodos. La distancia entre nodos sucesivos es también de ½ l. La separación entre nodo y antinodo es de l/4. Comprueba la sepración en: http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave4.html 

Vibración de una cuerda sujeta por un extremo.

Consideremos ahora una cuerda que tiene un extremo fijo. Una onda transversal incidente moviéndose hacia la izquierda y de ecuación yi(t) = A sen (wt + kx) se refleja, originando una onda que se propaga hacia la derecha y que tiene por ecuación yr(t) = A´sen (wt – kx). El desplazamiento en cualquier punto de la cuerda es el resultado de la interferencia o superposición de estas dos ondas: Se ve en http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave5.html 

y (t) = A sen (wt + kx) + A´sen (wt – kx)

 En x = 0 tenemos que: y(x=0) = (A + A´) sen wt.

 Pero este punto es fijo, luego y(x=0) = 0 en todo instante, esto significa que  -A = A´, es decir la onda experimenta un cambio de fase de p cuando se releja en un extremo fijo. Por tanto: 

y(t) = A (sen (wt + kx) –  sen (wt – kx))

  Sabiendo que: sena – senb = 2 sen½ (a-b). cos½ (a+b) se obtiene:  

y(t) = 2A sen kx cos wt

  Esta ecuación representa un MVAS cuya amplitud varía de punto a punto y está dada por:

 A = 2A sen kx

 La amplitud es cero para kx = np o bien como k =2p /l Þ x = ½ nl

Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos.

La simulación se observa en  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/oscilacion.htm 

Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc.

    Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y otra que se propaga de derecha a izquierda.

    Consideramos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. 

   Los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l /2. Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l. Para el tercer modo, L=3l /2, y así sucesivamente. 

    Para hallar las frecuencias empleamos la relación l =vP, o bien l =v/u .